1. Введение

Данная работа посвящена задаче Коши для нелинейного эволюционного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве, представляющего собой абстрактное обобщение интегро-дифференциального уравнения Болла. Уравнение содержит самосопряженные положительно определенные операторы в главной части, которые могут быть неограниченными. Основная цель состоит в разработке и анализе трехслойной симметричной полудискретной схемы для аппроксимации решений этой задачи, причем нелинейные члены аппроксимируются с использованием интегральных средних.

Рассматриваемое уравнение обобщает уравнение балки Дж.М. Болла, которое само расширяло нелинейное уравнение типа Кирхгофа для балок, первоначально выведенное С. Войновским-Кригером. Вклад Болла ввел демпфирующие члены для учета как внешних, так и внутренних эффектов демпфирования. Исследование уравнений Кирхгофа началось с основополагающей работы Бернштейна и с тех пор было расширено многочисленными исследователями, включая Ароссио, Паницци, Берселли, Манфрина, Д'Анкону, Спаньоло, Медейрос, Матос, Нисихару и других.

Предыдущие исследования были сосредоточены на различных аспектах, включая корректность, глобальную разрешимость и существование решений с низкой регулярностью для уравнений типа Кирхгофа. Абстрактный аналог, рассматриваемый в данной работе, выигрывает от участия квадрата главного оператора в линейной части, что облегчает получение необходимых априорных оценок.

2. Математическая формулировка

Задача Коши формулируется в гильбертовом пространстве H для нелинейного эволюционного уравнения второго порядка:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

с начальными условиями:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

где A и B - самосопряженные положительно определенные операторы в H, возможно неограниченные, а M - нелинейная функция, представляющая аппроксимацию интегральным средним. Член ||B u(t)||² обозначает квадрат нормы градиента в абстрактной постановке.

Операторы A и B удовлетворяют определенным спектральным условиям, которые обеспечивают корректность задачи. Предполагается, что нелинейность M является локально липшицевой и удовлетворяет соответствующим условиям роста, чтобы гарантировать существование и единственность решений.

3. Трехслойная полудискретная схема

Предлагаемая трехслойная полудискретная схема для временной дискретизации задается следующим образом:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

где τ представляет размер шага по времени, u^n аппроксимирует u(t_n) в момент времени t_n = nτ, а нелинейные члены, зависящие от градиента, аппроксимируются с использованием интегральных средних.

Схема является симметричной и разработана для сохранения определенных энергетических свойств непрерывной задачи. Аппроксимация нелинейных членов с использованием интегральных средних обеспечивает лучшие свойства устойчивости по сравнению с подходами прямой линеаризации.

Дискретные начальные условия:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Анализ устойчивости

Анализ устойчивости проводится в несколько этапов. Сначала устанавливается равномерная ограниченность решения нелинейной дискретной задачи и соответствующего разностного аналога производной первого порядка.

Теорема 4.1 (Равномерная ограниченность): При соответствующих предположениях об операторах A, B и нелинейности M решение {u^n} нелинейной дискретной задачи и разностное отношение {(u^{n+1} - u^n)/τ} равномерно ограничены относительно параметра дискретизации τ.

Для соответствующей линейной дискретной задачи выводятся априорные оценки высокого порядка с использованием двухпеременных многочленов Чебышева. Эти оценки имеют решающее значение для установления устойчивости нелинейной дискретной задачи.

Теорема 4.2 (Устойчивость): Трехслойная полудискретная схема устойчива, что означает, что малые возмущения в начальных данных и правой части приводят к малым изменениям в численном решении, причем коэффициент усиления контролируется параметрами дискретизации.

Доказательство опирается на энергетические оценки и тщательную обработку нелинейных членов через аппроксимацию интегральным средним.

5. Результаты сходимости

Для гладких решений приводятся оценки погрешности для приближенного решения. Основной результат сходимости суммируется в следующей теореме:

Теорема 5.1 (Оценка погрешности): Предположим, что точное решение u(t) является достаточно гладким. Тогда существует константа C > 0, не зависящая от τ, такая, что погрешность e^n = u(t_n) - u^n удовлетворяет:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

где N = T/τ - количество временных шагов.

Доказательство использует анализ согласованности, результаты устойчивости и свойства аппроксимации интегрального среднего для нелинейных членов. Точность второго порядка достигается благодаря симметрии трехслойной схемы и тщательной обработке нелинейностей.

6. Итерационный метод

Для нахождения приближенного решения на каждом временном шаге применяется итерационный метод. Итерационная схема для решения нелинейной дискретной задачи на временном шаге n+1 задается следующим образом:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

где k обозначает индекс итерации.

Теорема 6.1 (Сходимость итерационного процесса): При соответствующих условиях на шаг по времени τ и константу Липшица функции f, итерационный процесс сходится к единственному решению нелинейной дискретной задачи на каждом временном шаге.

Доказательство использует аргументы неподвижной точки и свойства устойчивости линеаризованных операторов.

7. Ключевые идеи

8. Заключение

Данная работа представляет комплексный анализ трехслойной полудискретной схемы для абстрактного аналога интегро-дифференциального уравнения Болла. Основные вклады включают:

• Разработку симметричной трехслойной схемы с аппроксимацией нелинейных членов интегральными средними
• Доказательство равномерной ограниченности для нелинейного дискретного решения и его разностного отношения
• Вывод априорных оценок высокого порядка с использованием многочленов Чебышева
• Установление устойчивости для нелинейной дискретной задачи
• Предоставление оценок погрешности для гладких решений
• Доказательство сходимости для итерационного метода, используемого для решения нелинейной системы на каждом временном шаге

Результаты демонстрируют, что предложенная схема эффективна для аппроксимации решений этого класса нелинейных эволюционных уравнений, с сохранением устойчивости и точности второго порядка. Абстрактная框架 делает результаты применимыми к широкому кругу конкретных задач математической физики, описываемых аналогичными интегро-дифференциальными уравнениями.

Перспективные направления будущих исследований включают расширение на полностью дискретные схемы, стратегии адаптивного выбора шага по времени и приложения к конкретным физическим моделям, таким как вязкоупругие балки и пластины.