1. Pengenalan

Karya ini menangani masalah Cauchy untuk persamaan evolusi tak linear tertib kedua dalam ruang Hilbert, mewakili generalisasi abstrak persamaan integro-pembezaan Ball. Persamaan ini mempunyai operator berpusat sendiri yang ditakrif secara positif dalam bahagian utamanya, yang mungkin tidak terbatas. Objektif utama adalah untuk membangun dan menganalisis skema separa diskret simetri tiga lapisan untuk menganggarkan penyelesaian kepada masalah ini, dengan sebutan tak linear dianggarkan menggunakan min kamiran.

Persamaan yang dipertimbangkan menggeneralisasikan persamaan rasuk J.M. Ball, yang sendiri memperluaskan persamaan tak linear jenis Kirchhoff untuk rasuk yang asalnya diterbitkan oleh S. Woinowsky-Krieger. Sumbangan Ball memperkenalkan sebutan redaman untuk mengambil kira kedua-dua kesan redaman luaran dan dalaman. Penyiasatan persamaan Kirchhoff bermula dengan karya seminal Bernstein dan sejak itu telah diperluaskan oleh ramai penyelidik termasuk Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara, dan lain-lain.

Penyelidikan sebelum ini memberi tumpuan kepada pelbagai aspek termasuk kebolehselesaian, kebolehselesaian global, dan kewujudan penyelesaian keteraturan rendah untuk persamaan jenis Kirchhoff. Analog abstrak yang dipertimbangkan dalam karya ini mendapat manfaat daripada penyertaan kuasa dua operator utama dalam bahagian linear, yang memudahkan pemerolehan anggaran priori yang diperlukan.

2. Formulasi Matematik

Masalah Cauchy dirumuskan dalam ruang Hilbert H untuk persamaan evolusi tak linear tertib kedua:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

dengan keadaan awal:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

di mana A dan B adalah operator berpusat sendiri yang ditakrif secara positif dalam H, berpotensi tidak terbatas, dan M adalah fungsi tak linear mewakili penghampiran min kamiran. Sebutan ||B u(t)||² menandakan kuasa dua norma kecerunan dalam tetapan abstrak.

Operator A dan B memenuhi syarat spektrum tertentu yang memastikan kebolehselesaian masalah. Ketaklinearan M diandaikan berterusan Lipschitz setempat dan memenuhi syarat pertumbuhan yang sesuai untuk menjamin kewujudan dan keunikan penyelesaian.

3. Skema Tiga Lapisan Separa Diskret

Skema tiga lapisan separa diskret yang dicadangkan untuk penyiskiran masa diberikan oleh:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

di mana τ mewakili saiz langkah masa, u^n menghampiri u(t_n) pada masa t_n = nτ, dan sebutan tak linear yang melibatkan kecerunan dianggarkan menggunakan min kamiran.

Skema ini adalah simetri dan direka untuk mengekalkan sifat tenaga tertentu masalah berterusan. Penghampiran sebutan tak linear menggunakan min kamiran memastikan sifat kestabilan yang lebih baik berbanding pendekatan pelinearan langsung.

Keadaan awal diskret adalah:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Analisis Kestabilan

Analisis kestabilan berlangsung dalam beberapa peringkat. Pertama, kami mewujudkan kebatasan seragam penyelesaian kepada masalah diskret tak linear dan analog perbezaan terhasil bagi terbitan tertib pertama.

Teorem 4.1 (Kebatasan Seragam): Di bawah andaian yang sesuai pada operator A, B dan ketaklinearan M, penyelesaian {u^n} masalah diskret tak linear dan hasil bahagi perbezaan {(u^{n+1} - u^n)/τ} adalah terbatas secara seragam berkenaan dengan parameter penyiskiran τ.

Untuk masalah diskret linear sepadan, kami memperoleh anggaran priori tertib tinggi menggunakan polinomial Chebyshev dua pembolehubah. Anggaran ini adalah penting untuk mewujudkan kestabilan masalah diskret tak linear.

Teorem 4.2 (Kestabilan): Skema separa diskret tiga lapisan adalah stabil, bermaksud bahawa gangguan kecil dalam data awal dan sebelah kanan membawa kepada perubahan kecil dalam penyelesaian berangka, dengan faktor amplifikasi dikawal oleh parameter penyiskiran.

Buktinya bergantung pada anggaran tenaga dan rawatan berhati-hati sebutan tak linear melalui penghampiran min kamiran.

5. Keputusan Penumpuan

Untuk penyelesaian licin, kami menyediakan anggaran ralat untuk penyelesaian hampiran. Keputusan penumpuan utama diringkaskan dalam teorem berikut:

Teorem 5.1 (Anggaran Ralat): Andaikan penyelesaian tepat u(t) cukup licin. Maka wujud pemalar C > 0, bebas daripada τ, supaya ralat e^n = u(t_n) - u^n memenuhi:

maks₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

di mana N = T/τ adalah bilangan langkah masa.

Buktinya menggunakan analisis konsistensi, keputusan kestabilan, dan sifat penghampiran min kamiran untuk sebutan tak linear. Ketepatan tertib kedua dicapai disebabkan kesimetrian skema tiga lapisan dan rawatan berhati-hati ketaklinearan.

6. Kaedah Lelaran

Kaedah lelaran digunakan untuk mencari penyelesaian hampiran bagi setiap langkah masa. Skema lelaran untuk menyelesaikan masalah diskret tak linear pada langkah masa n+1 diberikan oleh:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

di mana k menandakan indeks lelaran.

Teorem 6.1 (Penumpuan Proses Lelaran): Di bawah syarat yang sesuai pada langkah masa τ dan pemalar Lipschitz f, proses lelaran menumpu kepada penyelesaian unik masalah diskret tak linear pada setiap langkah masa.

Buktinya menggunakan hujah titik tetap dan menggunakan sifat kestabilan operator terpelinear.

7. Wawasan Utama

8. Kesimpulan

Karya ini membentangkan analisis komprehensif skema tiga lapisan separa diskret untuk analog abstrak persamaan integro-pembezaan Ball. Sumbangan utama termasuk:

• Pembangunan skema simetri tiga lapisan dengan penghampiran min kamiran untuk sebutan tak linear
• Bukti kebatasan seragam untuk penyelesaian diskret tak linear dan hasil bahagi perbezaannya
• Terbitan anggaran priori tertib tinggi menggunakan polinomial Chebyshev
• Pewujudan kestabilan untuk masalah diskret tak linear
• Penyediaan anggaran ralat untuk penyelesaian licin
• Bukti penumpuan untuk kaedah lelaran yang digunakan untuk menyelesaikan sistem tak linear pada setiap langkah masa

Keputusan menunjukkan bahawa skema yang dicadangkan adalah berkesan untuk menganggarkan penyelesaian kepada kelas persamaan evolusi tak linear ini, dengan kestabilan dikekalkan dan ketepatan tertib kedua. Rangka kerja abstrak menjadikan keputusan terpakai kepada pelbagai masalah konkrit dalam fizik matematik yang diterangkan oleh persamaan integro-pembezaan yang serupa.

Hala tuju penyelidikan masa depan termasuk lanjutan kepada skema sepenuhnya diskret, strategi langkah masa adaptif, dan aplikasi kepada model fizikal khusus seperti rasuk dan plat viskoelastik.