1. परिचय

यह कार्य एक हिल्बर्ट स्थान में द्वितीय-कोटि के अरैखिक विकास समीकरण के लिए कॉची समस्या को संबोधित करता है, जो बॉल समाकल-अवकल समीकरण का एक अमूर्त सामान्यीकरण दर्शाता है। इस समीकरण में इसके मुख्य भाग में स्व-सहायक धनात्मक परिभाषित संकारक होते हैं, जो असीमित हो सकते हैं। प्राथमिक उद्देश्य इस समस्या के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक तीन-परत सममित अर्ध-असतत योजना का विकास और विश्लेषण करना है, जिसमें अरैखिक पदों का अनुमान समाकल माध्यों का उपयोग करके लगाया जाता है।

विचाराधीन समीकरण जे.एम. बॉल के बीम समीकरण का सामान्यीकरण करता है, जिसने स्वयं किर्चहॉफ-प्रकार के अरैखिक समीकरण का बीमों के लिए विस्तार किया था जिसे मूल रूप से एस. वोइनोव्स्की-क्रिएगर ने प्राप्त किया था। बॉल के योगदान ने बाह्य और आंतरिक अवमंदन प्रभावों को ध्यान में रखते हुए अवमंदन पदों को प्रस्तुत किया। किर्चहॉफ समीकरणों की जांच बर्नस्टीन के मौलिक कार्य के साथ शुरू हुई और तब से अरोसियो, पनीज़ी, बर्सेली, मैनफ्रिन, डी'एनकोना, स्पैग्नोलो, मेदेइरोस, मैटोस, निशिहारा, और अन्य जैसे कई शोधकर्ताओं द्वारा इसका विस्तार किया गया है।

पिछले शोध ने किर्चहॉफ-प्रकार के समीकरणों के लिए विविध पहलुओं पर ध्यान केंद्रित किया है, जिसमें सु-निर्धारितता, वैश्विक समाधेयता, और कम नियमितता वाले समाधानों का अस्तित्व शामिल है। इस कार्य में विचार किया गया अमूर्त सादृश्य रैखिक भाग में मुख्य संकारक के वर्ग की भागीदारी से लाभान्वित होता है, जो आवश्यक प्राथमिक अनुमान प्राप्त करने की सुविधा प्रदान करता है।

2. गणितीय सूत्रीकरण

कॉची समस्या को एक हिल्बर्ट स्थान H में द्वितीय-कोटि के अरैखिक विकास समीकरण के लिए तैयार किया गया है:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

प्रारंभिक शर्तों के साथ:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

जहाँ A और B, H में स्व-सहायक धनात्मक परिभाषित संकारक हैं, संभवतः असीमित, और M एक अरैखिक फलन है जो समाकल माध्य सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करता है। पद ||B u(t)||² अमूर्त सेटिंग में ग्रेडिएंट के मानदंड के वर्ग को दर्शाता है।

संकारक A और B कुछ वर्णक्रमीय शर्तों को संतुष्ट करते हैं जो समस्या की सु-निर्धारितता सुनिश्चित करते हैं। यह माना जाता है कि अरैखिकता M स्थानीय रूप से लिपशिट्ज सतत है और समाधानों के अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी देने के लिए उचित वृद्धि शर्तों को संतुष्ट करती है।

3. तीन-परत अर्ध-असतत योजना

तात्कालिक विवेकन के लिए प्रस्तावित तीन-परत अर्ध-असतत योजना इस प्रकार दी गई है:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

जहाँ τ समय चरण आकार का प्रतिनिधित्व करता है, u^n समय t_n = nτ पर u(t_n) का अनुमान लगाता है, और ग्रेडिएंट से जुड़े अरैखिक पदों का अनुमान समाकल माध्यों का उपयोग करके लगाया जाता है।

यह योजना सममित है और सतत समस्या के कुछ ऊर्जा गुणों को संरक्षित करने के लिए डिज़ाइन की गई है। अरैखिक पदों के सन्निकटन के लिए समाकल माध्यों का उपयोग सीधे रैखिकीकरण दृष्टिकोणों की तुलना में बेहतर स्थिरता गुण सुनिश्चित करता है।

असतत प्रारंभिक शर्तें हैं:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. स्थिरता विश्लेषण

स्थिरता विश्लेषण कई चरणों में आगे बढ़ता है। सबसे पहले, हम अरैखिक असतत समस्या के समाधान और इसके प्रथम-कोटि अवकलज के संगत अंतर सादृश्य की एकसमान परिबद्धता स्थापित करते हैं।

प्रमेय 4.1 (एकसमान परिबद्धता): संकारक A, B और अरैखिकता M पर उचित मान्यताओं के तहत, अरैखिक असतत समस्या के समाधान {u^n} और अंतर भागफल {(u^{n+1} - u^n)/τ} विवेकन पैरामीटर τ के संबंध में एकसमान रूप से परिबद्ध हैं।

संगत रैखिक असतत समस्या के लिए, हम दो-चर चेबीशेव बहुपदों का उपयोग करके उच्च-कोटि के प्राथमिक अनुमान प्राप्त करते हैं। ये अनुमान अरैखिक असतत समस्या की स्थिरता स्थापित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

प्रमेय 4.2 (स्थिरता): तीन-परत अर्ध-असतत योजना स्थिर है, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक डेटा और दाहिने पक्ष में छोटे विचलन संख्यात्मक समाधान में छोटे परिवर्तन लाते हैं, जिसमें प्रवर्धन कारक विवेकन पैरामीटरों द्वारा नियंत्रित होता है।

प्रमाण ऊर्जा अनुमानों और समाकल माध्य सन्निकटन के माध्यम से अरैखिक पदों के सावधानीपूर्वक उपचार पर निर्भर करता है।

5. अभिसरण परिणाम

चिकने समाधानों के लिए, हम अनुमानित समाधान के लिए त्रुटि अनुमान प्रदान करते हैं। मुख्य अभिसरण परिणाम निम्नलिखित प्रमेय में संक्षेपित है:

प्रमेय 5.1 (त्रुटि अनुमान): मान लें कि सटीक समाधान u(t) पर्याप्त रूप से चिकना है। तब एक स्थिरांक C > 0 मौजूद है, τ से स्वतंत्र, ऐसा कि त्रुटि e^n = u(t_n) - u^n संतुष्ट करती है:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

जहाँ N = T/τ समय चरणों की संख्या है।

प्रमाण सुसंगतता विश्लेषण, स्थिरता परिणामों, और अरैखिक पदों के लिए समाकल माध्य के सन्निकटन गुणों का उपयोग करता है। द्वितीय-कोटि सटीकता तीन-परत योजना की समरूपता और अरैखिकताओं के सावधानीपूर्वक उपचार के कारण प्राप्त की जाती है।

6. पुनरावृत्ति विधि

प्रत्येक तात्कालिक चरण के लिए एक अनुमानित समाधान खोजने के लिए एक पुनरावृत्ति विधि लागू की जाती है। समय चरण n+1 पर अरैखिक असतत समस्या को हल करने के लिए पुनरावृत्ति योजना इस प्रकार दी गई है:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

जहाँ k पुनरावृत्ति सूचकांक को दर्शाता है।

प्रमेय 6.1 (पुनरावृत्ति प्रक्रिया का अभिसरण): समय चरण τ और f के लिपशिट्ज स्थिरांक पर उचित शर्तों के तहत, पुनरावृत्ति प्रक्रिया प्रत्येक समय चरण पर अरैखिक असतत समस्या के विशिष्ट समाधान में अभिसरण करती है।

प्रमाण निश्चित-बिंदु तर्कों का उपयोग करता है और रैखिकीकृत संकारकों के स्थिरता गुणों का उपयोग करता है।

7. मुख्य अंतर्दृष्टि

8. निष्कर्ष

यह कार्य बॉल समाकल-अवकल समीकरण के एक अमूर्त सादृश्य के लिए एक तीन-परत अर्ध-असतत योजना के व्यापक विश्लेषण को प्रस्तुत करता है। मुख्य योगदान में शामिल हैं:

• अरैखिक पदों के लिए समाकल माध्य सन्निकटन के साथ एक सममित तीन-परत योजना का विकास
• अरैखिक असतत समाधान और इसके अंतर भागफल के लिए एकसमान परिबद्धता का प्रमाण
• चेबीशेव बहुपदों का उपयोग करके उच्च-कोटि के प्राथमिक अनुमानों की व्युत्पत्ति
• अरैखिक असतत समस्या के लिए स्थिरता की स्थापना
• चिकने समाधानों के लिए त्रुटि अनुमानों का प्रावधान
• प्रत्येक समय चरण पर अरैखिक प्रणाली को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण का प्रमाण

परिणाम प्रदर्शित करते हैं कि प्रस्तावित योजना अरैखिक विकास समीकरणों के इस वर्ग के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए प्रभावी है, जिसमें स्थिरता और द्वितीय-कोटि सटीकता बनी रहती है। अमूर्त रूपरेखा परिणामों को समान समाकल-अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित गणितीय भौतिकी में व्यापक श्रेणी की ठोस समस्याओं पर लागू होने योग्य बनाती है।

भविष्य के शोध दिशाओं में पूर्णतः असतत योजनाओं का विस्तार, अनुकूली समय-चरण रणनीतियाँ, और विशिष्ट भौतिक मॉडल जैसे कि श्यानप्रत्यास्थ बीम और प्लेटों पर अनुप्रयोग शामिल हैं।