1. Introduction

Ce travail aborde le problème de Cauchy pour une équation d'évolution non linéaire du second ordre dans un espace de Hilbert, représentant une généralisation abstraite de l'équation intégro-différentielle de Ball. L'équation comporte des opérateurs auto-adjoints définis positivement dans sa partie principale, qui peuvent être non bornés. L'objectif principal est de développer et d'analyser un schéma semi-discret symétrique à trois niveaux pour approximer les solutions de ce problème, avec des termes non linéaires approximés à l'aide de moyennes intégrales.

L'équation considérée généralise l'équation de poutre de J.M. Ball, qui elle-même étendait l'équation non linéaire de type Kirchhoff pour les poutres initialement dérivée par S. Woinowsky-Krieger. La contribution de Ball a introduit des termes d'amortissement pour prendre en compte les effets d'amortissement externes et internes. L'étude des équations de Kirchhoff a commencé avec le travail fondateur de Bernstein et a depuis été étendue par de nombreux chercheurs incluant Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara, et d'autres.

Les recherches antérieures se sont concentrées sur divers aspects incluant la bonne posée, la solvabilité globale et l'existence de solutions de faible régularité pour les équations de type Kirchhoff. L'analogue abstrait considéré dans ce travail bénéficie de la participation du carré de l'opérateur principal dans la partie linéaire, ce qui facilite l'obtention des estimations a priori nécessaires.

2. Formulation Mathématique

Le problème de Cauchy est formulé dans un espace de Hilbert H pour l'équation d'évolution non linéaire du second ordre :

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

avec les conditions initiales :

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

où A et B sont des opérateurs auto-adjoints définis positivement dans H, potentiellement non bornés, et M est une fonction non linéaire représentant l'approximation par moyenne intégrale. Le terme ||B u(t)||² désigne le carré de la norme du gradient dans le cadre abstrait.

Les opérateurs A et B satisfont certaines conditions spectrales qui assurent la bonne posée du problème. La non-linéarité M est supposée être localement lipschitzienne et satisfaire des conditions de croissance appropriées pour garantir l'existence et l'unicité des solutions.

3. Schéma Semi-Discret à Trois Niveaux

Le schéma semi-discret à trois niveaux proposé pour la discrétisation temporelle est donné par :

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

où τ représente le pas de temps, u^n approxime u(t_n) au temps t_n = nτ, et les termes non linéaires impliquant le gradient sont approximés à l'aide de moyennes intégrales.

Le schéma est symétrique et conçu pour préserver certaines propriétés énergétiques du problème continu. L'approximation des termes non linéaires à l'aide de moyennes intégrales assure de meilleures propriétés de stabilité par rapport aux approches de linéarisation directes.

Les conditions initiales discrètes sont :

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Analyse de Stabilité

L'analyse de stabilité procède en plusieurs étapes. Premièrement, nous établissons la bornitude uniforme de la solution du problème discret non linéaire et de son analogue différences finies de la dérivée du premier ordre.

Théorème 4.1 (Bornitude Uniforme) : Sous des hypothèses appropriées sur les opérateurs A, B et la non-linéarité M, la solution {u^n} du problème discret non linéaire et le quotient de différence {(u^{n+1} - u^n)/τ} sont uniformément bornés par rapport au paramètre de discrétisation τ.

Pour le problème discret linéaire correspondant, nous dérivons des estimations a priori d'ordre élevé en utilisant des polynômes de Chebyshev à deux variables. Ces estimations sont cruciales pour établir la stabilité du problème discret non linéaire.

Théorème 4.2 (Stabilité) : Le schéma semi-discret à trois niveaux est stable, ce qui signifie que de petites perturbations dans les données initiales et le second membre conduisent à de petits changements dans la solution numérique, avec le facteur d'amplification contrôlé par les paramètres de discrétisation.

La preuve repose sur des estimations d'énergie et le traitement minutieux des termes non linéaires à travers l'approximation par moyenne intégrale.

5. Résultats de Convergence

Pour les solutions régulières, nous fournissons des estimations d'erreur pour la solution approchée. Le principal résultat de convergence est résumé dans le théorème suivant :

Théorème 5.1 (Estimation d'Erreur) : Supposons que la solution exacte u(t) est suffisamment régulière. Alors il existe une constante C > 0, indépendante de τ, telle que l'erreur e^n = u(t_n) - u^n satisfait :

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

où N = T/τ est le nombre de pas de temps.

La preuve utilise l'analyse de consistance, les résultats de stabilité et les propriétés d'approximation de la moyenne intégrale pour les termes non linéaires. La précision du second ordre est atteinte grâce à la symétrie du schéma à trois niveaux et au traitement minutieux des non-linéarités.

6. Méthode d'Itération

Une méthode d'itération est appliquée pour trouver une solution approchée à chaque pas temporel. Le schéma itératif pour résoudre le problème discret non linéaire au pas de temps n+1 est donné par :

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

où k désigne l'indice d'itération.

Théorème 6.1 (Convergence du Processus Itératif) : Sous des conditions appropriées sur le pas de temps τ et la constante de Lipschitz de f, le processus itératif converge vers l'unique solution du problème discret non linéaire à chaque pas de temps.

La preuve emploie des arguments de point fixe et utilise les propriétés de stabilité des opérateurs linéarisés.

7. Points Clés

8. Conclusion

Ce travail présente une analyse complète d'un schéma semi-discret à trois niveaux pour un analogue abstrait de l'équation intégro-différentielle de Ball. Les contributions principales incluent :

• Développement d'un schéma symétrique à trois niveaux avec approximation par moyenne intégrale pour les termes non linéaires
• Preuve de la bornitude uniforme pour la solution discrète non linéaire et son quotient de différence
• Dérivation d'estimations a priori d'ordre élevé utilisant des polynômes de Chebyshev
• Établissement de la stabilité pour le problème discret non linéaire
• Fourniture d'estimations d'erreur pour les solutions régulières
• Preuve de convergence pour la méthode d'itération utilisée pour résoudre le système non linéaire à chaque pas de temps

Les résultats démontrent que le schéma proposé est efficace pour approximer les solutions de cette classe d'équations d'évolution non linéaires, avec une stabilité maintenue et une précision du second ordre. Le cadre abstrait rend les résultats applicables à un large éventail de problèmes concrets en physique mathématique décrits par des équations intégro-différentielles similaires.

Les directions de recherche futures incluent l'extension aux schémas entièrement discrets, les stratégies de pas de temps adaptatifs et les applications à des modèles physiques spécifiques tels que les poutres et plaques viscoélastiques.