1. Introducción

Este trabajo aborda el problema de Cauchy para una ecuación de evolución no lineal de segundo orden en un espacio de Hilbert, representando una generalización abstracta de la ecuación integro-diferencial de Ball. La ecuación presenta operadores autoadjuntos positivamente definidos en su parte principal, que pueden ser no acotados. El objetivo principal es desarrollar y analizar un esquema semi-discreto simétrico de tres capas para aproximar soluciones a este problema, con términos no lineales aproximados usando medias integrales.

La ecuación bajo consideración generaliza la ecuación de viga de J.M. Ball, que a su vez extendió la ecuación no lineal tipo Kirchhoff para vigas originalmente derivada por S. Woinowsky-Krieger. La contribución de Ball introdujo términos de amortiguamiento para tener en cuenta tanto los efectos de amortiguamiento externos como internos. La investigación de ecuaciones de Kirchhoff comenzó con el trabajo seminal de Bernstein y desde entonces ha sido expandida por numerosos investigadores incluyendo Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara, y otros.

Investigaciones previas se han centrado en varios aspectos incluyendo buen planteamiento, solubilidad global y existencia de soluciones de baja regularidad para ecuaciones tipo Kirchhoff. El análogo abstracto considerado en este trabajo se beneficia de la participación del cuadrado del operador principal en la parte lineal, lo que facilita la obtención de estimaciones a priori necesarias.

2. Formulación Matemática

El problema de Cauchy se formula en un espacio de Hilbert H para la ecuación de evolución no lineal de segundo orden:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

con condiciones iniciales:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

donde A y B son operadores autoadjuntos positivamente definidos en H, potencialmente no acotados, y M es una función no lineal que representa la aproximación de la media integral. El término ||B u(t)||² denota el cuadrado de la norma del gradiente en el marco abstracto.

Los operadores A y B satisfacen ciertas condiciones espectrales que aseguran el buen planteamiento del problema. Se asume que la no linealidad M es localmente Lipschitz continua y satisface condiciones de crecimiento apropiadas para garantizar la existencia y unicidad de soluciones.

3. Esquema Semi-Discreto de Tres Capas

El esquema semi-discreto de tres capas propuesto para la discretización temporal está dado por:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

donde τ representa el tamaño del paso temporal, u^n aproxima u(t_n) en el tiempo t_n = nτ, y los términos no lineales que involucran el gradiente se aproximan usando medias integrales.

El esquema es simétrico y está diseñado para preservar ciertas propiedades de energía del problema continuo. La aproximación de términos no lineales usando medias integrales asegura mejores propiedades de estabilidad comparado con enfoques de linealización directos.

Las condiciones iniciales discretas son:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Análisis de Estabilidad

El análisis de estabilidad procede en varias etapas. Primero, establecemos la acotación uniforme de la solución al problema discreto no lineal y su análogo de diferencia correspondiente de la derivada de primer orden.

Teorema 4.1 (Acotación Uniforme): Bajo supuestos apropiados sobre los operadores A, B y la no linealidad M, la solución {u^n} del problema discreto no lineal y el cociente de diferencia {(u^{n+1} - u^n)/τ} están uniformemente acotados con respecto al parámetro de discretización τ.

Para el problema discreto lineal correspondiente, derivamos estimaciones a priori de alto orden usando polinomios de Chebyshev de dos variables. Estas estimaciones son cruciales para establecer la estabilidad del problema discreto no lineal.

Teorema 4.2 (Estabilidad): El esquema semi-discreto de tres capas es estable, lo que significa que pequeñas perturbaciones en los datos iniciales y el lado derecho conducen a pequeños cambios en la solución numérica, con el factor de amplificación controlado por los parámetros de discretización.

La demostración se basa en estimaciones de energía y el tratamiento cuidadoso de los términos no lineales a través de la aproximación de la media integral.

5. Resultados de Convergencia

Para soluciones suaves, proporcionamos estimaciones de error para la solución aproximada. El principal resultado de convergencia se resume en el siguiente teorema:

Teorema 5.1 (Estimación de Error): Asuma que la solución exacta u(t) es suficientemente suave. Entonces existe una constante C > 0, independiente de τ, tal que el error e^n = u(t_n) - u^n satisface:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

donde N = T/τ es el número de pasos temporales.

La demostración utiliza análisis de consistencia, resultados de estabilidad y las propiedades de aproximación de la media integral para los términos no lineales. La precisión de segundo orden se logra debido a la simetría del esquema de tres capas y el tratamiento cuidadoso de las no linealidades.

6. Método de Iteración

Se aplica un método de iteración para encontrar una solución aproximada para cada paso temporal. El esquema iterativo para resolver el problema discreto no lineal en el paso temporal n+1 está dado por:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

donde k denota el índice de iteración.

Teorema 6.1 (Convergencia del Proceso de Iteración): Bajo condiciones apropiadas sobre el paso temporal τ y la constante de Lipschitz de f, el proceso de iteración converge a la única solución del problema discreto no lineal en cada paso temporal.

La demostración emplea argumentos de punto fijo y utiliza las propiedades de estabilidad de los operadores linealizados.

7. Ideas Clave

8. Conclusión

Este trabajo presenta un análisis comprehensivo de un esquema semi-discreto de tres capas para un análogo abstracto de la ecuación integro-diferencial de Ball. Las principales contribuciones incluyen:

• Desarrollo de un esquema simétrico de tres capas con aproximación de media integral para términos no lineales
• Demostración de acotación uniforme para la solución discreta no lineal y su cociente de diferencia
• Derivación de estimaciones a priori de alto orden usando polinomios de Chebyshev
• Establecimiento de estabilidad para el problema discreto no lineal
• Provisión de estimaciones de error para soluciones suaves
• Demostración de convergencia para el método de iteración usado para resolver el sistema no lineal en cada paso temporal

Los resultados demuestran que el esquema propuesto es efectivo para aproximar soluciones a esta clase de ecuaciones de evolución no lineales, con estabilidad mantenida y precisión de segundo orden. El marco abstracto hace que los resultados sean aplicables a una amplia gama de problemas concretos en física matemática descritos por ecuaciones integro-diferenciales similares.

Las direcciones futuras de investigación incluyen la extensión a esquemas completamente discretos, estrategias adaptativas de paso temporal y aplicaciones a modelos físicos específicos como vigas y placas viscoelásticas.