1. Einleitung

Diese Arbeit behandelt das Cauchy-Problem für eine nichtlineare Evolutionsgleichung zweiter Ordnung in einem Hilbert-Raum, die eine abstrakte Verallgemeinerung der Ball-Integro-Differentialgleichung darstellt. Die Gleichung weist selbstadjungierte positiv definite Operatoren in ihrem Hauptteil auf, die unbeschränkt sein können. Das Hauptziel ist die Entwicklung und Analyse eines Drei-Schichten-symmetrischen Halbdiskretisierungsschemas zur Approximation von Lösungen für dieses Problem, wobei nichtlineare Terme mittels Integralmitteln approximiert werden.

Die betrachtete Gleichung verallgemeinert die Balkengleichung von J.M. Ball, die ihrerseits die Kirchhoff-artige nichtlineare Gleichung für Balken erweiterte, die ursprünglich von S. Woinowsky-Krieger abgeleitet wurde. Balls Beitrag führte Dämpfungsterme ein, um sowohl externe als auch interne Dämpfungseffekte zu berücksichtigen. Die Untersuchung von Kirchhoff-Gleichungen begann mit Bernsteins grundlegender Arbeit und wurde seitdem von zahlreichen Forschern erweitert, darunter Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara und andere.

Frühere Forschungen konzentrierten sich auf verschiedene Aspekte, darunter Wohlgestelltheit, globale Lösbarkeit und Existenz von Lösungen mit niedriger Regularität für Kirchhoff-artige Gleichungen. Das in dieser Arbeit betrachtete abstrakte Analogon profitiert von der Teilnahme des Quadrats des Hauptoperators im linearen Teil, was die Gewinnung notwendiger a-priori-Abschätzungen erleichtert.

2. Mathematische Formulierung

Das Cauchy-Problem wird in einem Hilbert-Raum H für die nichtlineare Evolutionsgleichung zweiter Ordnung formuliert:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

mit Anfangsbedingungen:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

wobei A und B selbstadjungierte positiv definite Operatoren in H sind, möglicherweise unbeschränkt, und M eine nichtlineare Funktion darstellt, die die Integralmittelapproximation repräsentiert. Der Term ||B u(t)||² bezeichnet das Quadrat der Norm des Gradienten im abstrakten Rahmen.

Die Operatoren A und B erfüllen bestimmte Spektralbedingungen, die die Wohlgestelltheit des Problems sicherstellen. Es wird angenommen, dass die Nichtlinearität M lokal Lipschitz-stetig ist und geeignete Wachstumsbedingungen erfüllt, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu gewährleisten.

3. Drei-Schichten-Halbdiskretisierungsschema

Das vorgeschlagene Drei-Schichten-Halbdiskretisierungsschema für die zeitliche Diskretisierung lautet:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

wobei τ die Zeitschrittweite darstellt, u^n die Funktion u(t_n) zum Zeitpunkt t_n = nτ approximiert und die nichtlinearen Terme, die den Gradienten betreffen, mittels Integralmitteln approximiert werden.

Das Schema ist symmetrisch und so konzipiert, dass es bestimmte Energieeigenschaften des kontinuierlichen Problems bewahrt. Die Approximation nichtlinearer Terme mittels Integralmitteln gewährleistet bessere Stabilitätseigenschaften im Vergleich zu direkten Linearisierungsansätzen.

Die diskreten Anfangsbedingungen lauten:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Stabilitätsanalyse

Die Stabilitätsanalyse verläuft in mehreren Stufen. Zunächst stellen wir die gleichmäßige Beschränktheit der Lösung des nichtlinearen diskreten Problems und seines entsprechenden Differenzenanalogons der Ableitung erster Ordnung fest.

Theorem 4.1 (Gleichmäßige Beschränktheit): Unter geeigneten Annahmen über die Operatoren A, B und die Nichtlinearität M sind die Lösung {u^n} des nichtlinearen diskreten Problems und der Differenzenquotient {(u^{n+1} - u^n)/τ} gleichmäßig beschränkt bezüglich des Diskretisierungsparameters τ.

Für das entsprechende lineare diskrete Problem leiten wir a-priori-Abschätzungen höherer Ordnung unter Verwendung von Tschebyschow-Polynomen mit zwei Variablen ab. Diese Abschätzungen sind entscheidend für den Nachweis der Stabilität des nichtlinearen diskreten Problems.

Theorem 4.2 (Stabilität): Das Drei-Schichten-Halbdiskretisierungsschema ist stabil, was bedeutet, dass kleine Störungen in den Anfangsdaten und der rechten Seite zu kleinen Änderungen in der numerischen Lösung führen, wobei der Verstärkungsfaktor durch die Diskretisierungsparameter kontrolliert wird.

Der Beweis stützt sich auf Energieabschätzungen und die sorgfältige Behandlung der nichtlinearen Terme durch die Integralmittelapproximation.

5. Konvergenzergebnisse

Für glatte Lösungen liefern wir Fehlerabschätzungen für die Näherungslösung. Das Hauptkonvergenzergebnis wird im folgenden Theorem zusammengefasst:

Theorem 5.1 (Fehlerabschätzung): Angenommen, die exakte Lösung u(t) ist hinreichend glatt. Dann existiert eine Konstante C > 0, unabhängig von τ, so dass der Fehler e^n = u(t_n) - u^n erfüllt:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

wobei N = T/τ die Anzahl der Zeitschritte ist.

Der Beweis nutzt Konsistenzanalyse, Stabilitätsergebnisse und die Approximationseigenschaften des Integralmittels für die nichtlinearen Terme. Die Genauigkeit zweiter Ordnung wird aufgrund der Symmetrie des Drei-Schichten-Schemas und der sorgfältigen Behandlung der Nichtlinearitäten erreicht.

6. Iterationsverfahren

Ein Iterationsverfahren wird angewendet, um eine Näherungslösung für jeden Zeitschritt zu finden. Das iterative Schema zur Lösung des nichtlinearen diskreten Problems zum Zeitschritt n+1 lautet:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

wobei k den Iterationsindex bezeichnet.

Theorem 6.1 (Konvergenz des Iterationsprozesses): Unter geeigneten Bedingungen an die Zeitschrittweite τ und die Lipschitz-Konstante von f konvergiert der Iterationsprozess gegen die eindeutige Lösung des nichtlinearen diskreten Problems zu jedem Zeitschritt.

Der Beweis verwendet Fixpunktargumente und nutzt die Stabilitätseigenschaften der linearisierten Operatoren.

7. Wichtige Erkenntnisse

8. Schlussfolgerung

Diese Arbeit präsentiert eine umfassende Analyse eines Drei-Schichten-Halbdiskretisierungsschemas für ein abstraktes Analogon der Ball-Integro-Differentialgleichung. Die Hauptbeiträge umfassen:

• Entwicklung eines symmetrischen Drei-Schichten-Schemas mit Integralmittelapproximation für nichtlineare Terme
• Nachweis der gleichmäßigen Beschränktheit für die nichtlineare diskrete Lösung und ihren Differenzenquotienten
• Ableitung von a-priori-Abschätzungen höherer Ordnung unter Verwendung von Tschebyschow-Polynomen
• Etablierung der Stabilität für das nichtlineare diskrete Problem
• Bereitstellung von Fehlerabschätzungen für glatte Lösungen
• Nachweis der Konvergenz für das Iterationsverfahren zur Lösung des nichtlinearen Systems in jedem Zeitschritt

Die Ergebnisse demonstrieren, dass das vorgeschlagene Schema effektiv für die Approximation von Lösungen dieser Klasse nichtlinearer Evolutionsgleichungen ist, mit erhaltener Stabilität und Genauigkeit zweiter Ordnung. Der abstrakte Rahmen macht die Ergebnisse auf eine breite Palette konkreter Probleme in der mathematischen Physik anwendbar, die durch ähnliche Integro-Differentialgleichungen beschrieben werden.

Zukünftige Forschungsrichtungen umfassen die Erweiterung auf vollständig diskrete Schemata, adaptive Zeitschrittstrategien und Anwendungen auf spezifische physikalische Modelle wie viskoelastische Balken und Platten.